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ÉQUATIONS

$\operatorname {F} \left\{x,\psi x,\psi (\operatorname {f} _{1}x),\psi (\operatorname {f} _{2}x),\psi (\operatorname {f} _{3}x),\ldots \right\},$

dans laquelle $\operatorname {f} _{1},\operatorname {f} _{2},\operatorname {f} _{3},\ldots$ désigneraient des fonctions quelconques de $x$ tout-à-fait indépendantes les unes des autres, et n’étant soumises à aucune loi de dérivation régulière ; et M. Babbage ne dit pas si, dans ce cas général, il y aurait moyen de déduire de l’équation proposée la forme de la fonction $x.$

Nous observerons à ce sujet que d’abord on peut souvent, par une simple transformation, rendre périodiques des fonctions qui ne paraissent point l’être. Qu’on ait, par exemple, l’équation

$a\psi \left({\frac {ax^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\right)-{\frac {a^{2}+x^{2}}{a}}\psi \left(-{\frac {a^{3}}{x^{2}}}\right)=a^{2}+x^{2},$

dans laquelle aucune des deux fonctions ${\frac {ax^{2}}{a^{2}+x^{2}}},\ -{\frac {a^{3}}{x^{2}}}$ ne paraît être périodique ; en y faisant simplement $x={\sqrt {a(x'-a)}},$ elle deviendra

$a\psi \left[{\frac {a(x'-a)}{x'}}\right]-x'\psi \left[-{\frac {a^{2}}{x'-a}}\right]=ax'.$

équation qui n’est autre chose que celle du problème de géométrie que nous nous sommes proposé au commencement de cet extrait ; nous en tirerons donc, comme alors

$\psi x'=-{\frac {ax'}{x'-a}},\quad$d’où$\quad \psi x=-{\frac {ax}{x-a}}.$

Mais de telles transformations sont-elles indistinctement applicables à toutes sortes d’équations fonctionnelles ? et, en supposant qu’il en soit ainsi, comment découvrira-t-on la transformation qui convient à chacune d’elles ? Si, au contraire, ces transformations ne