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ÉQUATIONS

dans laquelle $\phi$ désigne une fonction arbitraire, et qui revient à la première, lorsqu’on y fait $k=0.$ Celle-ci n’étant plus dans l’exception dont il s’agit, nous y changerons $x$ en $a-x,$ suivant le procédé général ; elle deviendra

$\psi (a-x)+(1+k)\psi x+k\phi (a-x)=2b\,;$

en éliminant $\psi (a-x)$ entre celle-ci et l’autre, il viendra

$\psi x={\frac {2b+\phi x-(1+k)\phi (a-x)}{2+k}}\,;$

il faudra donc, pour avoir la solution de la proposée, faire ici $k=0,$ ce qui donnera, en transformant les fonctions arbitraires,

$\psi x=b+\phi x-\phi (a-x)\,;$

de sorte que l’équation générale des courbes satisfaisant, à la condition exigée sera

$y=b+\phi x-\phi (a-x).$

On ramènera facilement à ce problème celui où il serait question de déterminer la courbe dans laquelle le produit de deux ordonnées est constant et égal à $b^{2},$ toutes les fois que le produit de leurs abscisses est lui-même constant et égal à $a^{2}.$ En représentant en effet l’équation de la courbe par $y=\psi x,$ la condition du problème donnera

$\psi x.\psi {\frac {a^{2}}{x}}=b^{2}.$

Or, en posant $\operatorname {Log} .\psi x=\psi _{1}x,$ d’où $\operatorname {Log} .\psi {\frac {a^{2}}{x}}=\psi _{1}{\frac {a^{2}}{x}},$ et prenant les logarithmes des deux membres, cette équation devient