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FONCTIONS

${\begin{aligned}&2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}\varpi =A'+2^{m}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m\varpi ,\\&2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}\varpi =A'-2^{m}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m\varpi \,;\end{aligned}}$

$A'$ étant ce que devient $A$ lorsque l’on y fait $x=\varpi .$

Lorsque $m$ est un nombre entier, positif ou négatif, l’on a $\operatorname {Sin} .m\varpi =0,$ et par conséquent ces deux valeurs de $2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x$ coïncident ; mais, dans le cas où $m$ est fractionnaire, il faut considérer les seconds membres de deux équations précédentes comme donnant deux des racines de l’équation

$y^{\frac {1}{m}}-2\operatorname {Cos} .\varpi =0,$

laquelle revient à

$y^{\frac {1}{m}}+2=0.$

Il est d’ailleurs facile de voir qu’il n’y a en cela aucune contradiction ; car, dans le cas de $x=\varpi ,$ on a

$A'=\operatorname {Cos} .m\varpi .\left(1+{\frac {m}{1}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}+\ldots \right)$

ou bien

$A'=(1+1)^{m}.\operatorname {Cos} .m\varpi =2^{m}.\operatorname {Cos} .m\varpi \,;$

ainsi, les deux équations précédentes donnent