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CIRCULAIRES.

$\left(\operatorname {Cos} .x\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{m}=\operatorname {Cos} .mx\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,$

on a

${\begin{aligned}B&={\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\left(\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\\&-{\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\left(\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire $B=0,$ quel que soit l’exposant $m,$ entier ou fractionnaire.

Cette conclusion cesse pourtant d’être vraie, lorsque $x=\varpi ,$ car alors on a

$\operatorname {Sin} .(m-2n)x=\operatorname {Sin} .(m-2n)\varpi =\operatorname {Sin} .m\varpi \,;$

$n$ étant un nombre entier positif quelconque, donc, en revenant sur nos pas, la première transformée sera

$B={\frac {e^{m\varpi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}(1+1)^{m}-{\frac {e^{-m\varpi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}(1+1)^{m},$

puisque

$e^{-2\varpi {\sqrt {-1}}}=e^{+2\varpi {\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .2\varpi \mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2\varpi =1.$

Ainsi nous aurons

$B=2^{m}\operatorname {Sin} .m\varpi ,$

ce qui donnera ces deux équations