Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/93

85

CIRCULAIRES.

$(u+\nu )^{m}=2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x\,;$

donc, en développant le bînome, on aura

$2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x=u^{m}+{\frac {m}{1}}u^{m-2}.u\nu +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}u^{m-4}.u^{2}\nu ^{2}+\ldots$

en remarquant que $u\nu =1,$ et que

$u^{n}=\operatorname {Cos} .nx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .nx,$

et faisant, pour abréger

${\begin{aligned}&A=\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots ,\\&B=\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \,;\end{aligned}}$

on aura

$2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x=A+B{\sqrt {-1}}.\qquad$(1)

Si, au lieu de développer $(u+\nu )^{m},$ on développe son équivalent $(\nu +u)^{m},$ au lieu de l’équation (1), on aura la suivante

$2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x=A-B{\sqrt {-1}}.\qquad$(2)