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FONCTIONS

ANALISE TRANSCENDANTE.

Sur le développement des puissances des cosinus en
cosinus d’arcs multiples ;

Par M. Plana, professeur d’astronomie à l’université de Turin.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Dans le troisième volume de son Calcul intégral (2.^e édit., pag. 605 et suiv.), M. Lacroix a exposé les difficultés que présente le développement d’une puissance quelconque du cosinus d’un arc en série procédant suivant les cosinus des multiples de cet arc ; développement qu’on avait cru exact pour toutes les valeurs de l’exposant, jusqu’à l’époque où M. Poisson, dans le 2.^e volume de la Correspondance sur l’école polytechnique, signala l’erreur où l’on était demeuré Jusqu’alors sur ce sujet.

Il m’a paru que ce point de doctrine pourrait être facilement éclairci de la manière suivante.

En posant

${\begin{aligned}&u=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\\&\nu =\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,\end{aligned}}$

on a

$u+\nu =2\operatorname {Cos} .x,$

d’où