et la demi-corde. Lorsque la courbe projetée se réduit à un cercle, tous ses diamètres conjugués sont égaux et se coupent à angles droits. Par conséquent, dans ce cas particulier, la droite menée du centre de projection au milieu de la corde idéale de la courbe donnée doit être perpendiculaire sur cette corde et égale à sa moitié.
La question que nous venons de résoudre n’a pas été traitée directement par M. Poncelet ; mais la solution que nous avons déduite des principes qu’il a établis fournit le moyen de simplifier et de généraliser, tout à la fois, celles de plusieurs autres problèmes dont nous parlerons ci-après.
Considérons à présent deux sections coniques tracées sur un même plan. Il peut arriver ou qu’elles se coupent en quatre points ou qu’elles se coupent en deux points ou qu’elles ne se coupent pas. Si l’on cherche, par l’analise, les abscisses des points d’intersection, on trouvera que ces abscisses sont les racines d’une équation du quatrième degré à coefficiens réels, et que cette même équation a quatre racines réelles dans le premier cas, deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées dans le second, enfin, quatre racines imaginaires conjuguées deux à deux dans le troisième. De plus, comme, en combinant les équations des deux courbes, on peut en déduire une troisième équation du second degré, qui ne renferme l’ordonnée qu’au premier degré seulement, il en résulte que l’analise indique seulement quatre points d’intersection, et que, pour chacun de ces points, on peut exprimer l’ordonnée en fonctions rationnelle et réelle de l’abscisse. Par suite, si l’on trouve, pour un point d’intersection, une abscisse réelle, l’ordonnée le sera également ; et, si l’analise fournit, pour deux de ces points, deux abscisses imaginaires conjuguées, les ordonnées correspondantes seront elles-mêmes imaginaires et conjuguées. Considérons, en particulier, deux points de cette dernière espèce. Comme, pour transformer les coordonnées de l’une en celle de l’autre, il suffira de remplacer par il est clair que toutes les équa-
