Il est d’abord évident (68, 70) que l’axe radical des trois sphères sera aussi celui des trois cônes.
Soient les centres de similitude des trois sphères déterminés conformément à la nature du contact ; ces trois points seront en ligne droite (36) ; seront (60) les axes de similitude des trois cônes et conséquemment (62) ces trois droites seront dans un même plan.
Il suit de là que la polaire de similitude de l’une quelconque des sphères touchées et celle du cône correspondant perceront le plan de sa ligne de contact avec ce cône au même point, et seront conséquemment dans un même plan. En effet, considérons, par exemple, la sphère inscrite au cône La polaire de est (29) l’intersection de deux plans dont les pôles sont et la polaire de est l’intersection de deux autres plans dont les droites polaires sont mais le plan de la ligne de contact de avec a le point pour pôle ; d’où il suit que le pôle du plan relatif à la sphère, doit être à la fois sur ces cinq plans, et doit conséquemment être un point du plan de la ligne de contact appartenant à la fois à la polaire de la sphère et à celle du cône qui ainsi se coupent en ce point et sont conséquemment dans un même plan.
Mais l’axe radical des trois cônes et des trois sphères est aussi dans un même plan avec la polaire de similitude du cône puisque ces deux droites concourent au point et, comme d’ailleurs la polaire de similitude de qui, comme nous venons de le voir, a un point sur ce plan, est parallèle à l’axe radical, il s’ensuit que cet axe et les deux polaires sont dans un même plan passant par le point
Or, il a été démontré (117) que, lorsqu’une sphère en touche trois autres, le plan qui contient l’axe radical de celles-ci et la polaire de similitude de l’une d’elles contient aussi son point de contact avec la sphère touchante ; on pourra donc dire aussi que ce point de contact est sur le plan qui passe par l’axe radical et par la polaire de similitude du cône ; et, puisque la ligne de contact
