Pour chacune des huit manières dont on voudra que les sphères données soient touchées par la sphère cherchée, on trouvera deux sphères qui résoudront le problème ; ce qui fera seize solutions en tout.
Cette solution est exactement celle qui a été donnée par M. Gergonne, dans les Mémoires de Turin.
Autrement. On peut aussi se borner à chercher, pour chacune des quatre sphères données, le pôle de similitude qui convient à la manière dont on veut qu’elles soient touchées par la sphère cherchée, ainsi que le centre radical des quatre sphères. En joignant ce dernier point à chacun des quatre autres par des droites, ces droites, par leurs intersections respectives avec les sphères données, détermineront sur ces sphères les points où ils devront être touchés par les deux sphères remplissant les conditions du problème particulier qu’on se sera proposé.
Cette nouvelle solution est celle que M. Gergonne a donnée en l’endroit déjà cité des Annales de mathématiques ; elles résultent évidemment, l’une et l’autre, de ce qui a été dit ci-dessus (128, 129).
131. Si quelqu’unes des droites qui doivent déterminer, sur les sphères données, leurs points de contact avec la sphère cherchée, au lieu de percer ces sphères, leur étaient simplement tangentes, ou même ne les rencontraient pas, le nombre des solutions du problème s’en trouverait d’autant réduit, et pourrait même, dans certains cas, devenir tout-à-fait nul.
132. Les points et les plans n’étant que des sphères dont le rayon est nul ou infini, on sent qu’il suffira de faire quelques légères modifications à ces solutions, pour en déduire celles des quinze problèmes résolus pour la première fois par Fermat.
