l’une quelconque de ces quatre sphères, contient toujours les points de contact de cette sphère avec deux des seize sphères qui touchent à la fois les quatre sphères dont il s’agit, savoir ; avec les deux sphères qui les touchent toutes quatre de la même manière, si le pôle répond au plan de similitude externe, avec deux des huit sphères qui touchent trois des sphères données d’une même manière, et la quatrième d’une manière différente, si le pôle est relatif à l’un des quatre plans de similitude mixtes ; et enfin avec deux des six sphères qui, touchant deux des sphères données d’une même manière, touchent les deux autres d’une manière différente, si le pôle est relatif à l’un des trois plans de similitude internes.
Démonstration. Soient les centres des quatre sphères dont il s’agit, leur centre radical, le centre d’une sphère qui les touche toutes quatre, d’une manière quelconque, les points de contact respectifs avec elles, et enfin leurs pôles de similitude respectifs, déterminés conformément à la manière dont elles sont touchées par la sphère dont le centre est
Si, par les points on conçoit un plan ; ce plan contiendra le point en ligne droite avec et et, d’après ce qui vient d’être dit (127), il devra aussi contenir le point menant donc ces droites se trouveront dans un même plan, à la fois homologues par rapport aux deux sphères ; mais le point est aussi un point homologue commun à ces deux sphères ; donc en doivent être des lignes homologues ; mais il en est de même des rayons donc les angles doivent être égaux ; puis donc que les trois points sont en ligne droite, il doit en être de même des trois points On prouvera, par un raisonnement tout semblable, que les points sont respectivement sur
129. Les trois plans polaires de similitude, dont l’intersection détermine le point ont leurs plans polaires respectivement parallèles et correspondans, relatifs à lesquels, prolongés,
