qui doivent être touchées de la même manière ; et que dans le dernier, on choisisse le plan de similitude qui contient les centres de similitude externes des deux couples de sphères qui doivent être touchées d’une même manière par la cinquième.
Démonstration. Soient les quatre sphères touchées, la sphère touchante ; les plans radicaux de et de et de et respectivement ; soient, de plus, les plans polaires de relatifs à la nature du contact, respectivement parallèles aux plans radicaux et soient enfin le pôle de et le centre radical des quatre sphères, de manière que soit l’intersection des trois plans et celle des trois plans d’après ce que nous avons dit ci-dessus (112) sont des plans semblablement situés par rapport à et et il en est de même de et de donc le point intersection de est placé par rapport à de la même manière que l’est, par rapport à , le point d’intersection de et on démontrerait la même chose des pôles de
127. Non seulement le centre radical et le pôle de qui convient à la situation de sont deux points semblablement situés par rapport aux sphères mais ils sont de plus semblablement situés par rapport à la droite qui joint les centres de ces deux sphères et même par rapport à tout plan passant par cette droite, lesquels droite et plan sont à la fois homologues dans l’une et l’autre sphères. Cela est évident, puisque les trois plans qui, par leur intersection, déterminent le premier de ces points, sont respectivement parallèles à leurs homologues, dont l’intersection détermine le dernier ; de manière que les plans homologues dans les deux systèmes font des angles égaux soit avec un plan quelconque passant par les centres, soit avec le plan tangent commun, plans homologues communs aux deux sphères.
128. THÉORÈME, La droite qui joint le centre radical de quatre sphères à l’un quelconque des huit pôles de similitude de
