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QUESTIONS

Nous terminerons par rappeler que le centre de la courbe (1) est donné par les dérivées de son équation, prises successivement par rapport à $x,y$, lesquelles sont

$Ax+Cy+A'=0,\quad (9)\qquad By+Cx+B'=0,\quad (10)$

et donnent

${\begin{array}{rr}\left(c^{2}+AB\right)x+(B'C-A'B)=0,&(11)\\\left(c^{2}+AB\right)y+(A'C-B'A)=0.&(12)\end{array}}$

PROBLÈME I. Déterminer le lieu des centres de toutes les sections coniques qui touchent à la fois quatre droites données quelconques ?

Solution. Soient prises deux quelconques des droites données pour axes des coordonnées, et soient les équations des deux autres ainsi qu’il suit :

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1.\qquad {\frac {x}{a'}}+{\frac {y}{b'}}=1.$

Supposons que l’équation (1) soit celle des courbes dont il s’agit ; parce que ces courbes doivent toucher les deux axes, les équations (4, 5) auront lieu ; on exprimera ensuite que ces courbes touchent les deux autres droites, en exprimant que l’équation (3) a lieu, ainsi qu’une autre équation que l’on déduirait de celle-là en y changeant respectivement $a,b$ en $a',b'\,;$ mais, en vertu des conditions (4, 5), ces équations se simplifient et deviennent

${\begin{aligned}a\ \ b\ \left(C^{2}-AB\right)+2a\ (A'C-AB')+2b\ (B'C-BA')+2(CC'-A'B')=0,&\\a'b'\left(C^{2}-AB\right)+2a'(A'C-AB')+2b'(B'C-BA')+2(CC'-A'B')=0.&\end{aligned}}$

En y substituant pour les deux binômes $A'C-AB',\ B'C-BA'$