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RÉSOLUTION

Note de M. Berndtson.

Le soussigné a l’honneur de donner avis à M. le Rédacteur des Annales de mathématiques que, s’étant proposé de résoudre l’équation

$x^{2n+1}-x-k=0,$

dans laquelle $n$ est un nombre entier positif et où $k$ est une quantité réelle positive quelconque ; il a trouvé, par une méthode spéciale, appropriée aux divers cas particuliers que renferme cette formule générale ; qu’en posant

$a={\sqrt[{2n+1}]{1+k}},\quad b=+{\sqrt[{2n}]{1+{\frac {k}{a}}}},\quad c=+{\sqrt[{2n}]{1+{\frac {k}{b}}}}\,;$

la seule racine réelle positive que puisse avoir cette équation est exactement exprimée par la formule

$x={\frac {b^{2}-ac}{2b-(a+c)}}.$

De cette détermination générale de la racine réelle positive de l’équation il suit, pour les cas particuliers, que cette racine sera celle de l’équation

$x^{3}-x-k=0,$

si l’on pose

$a={\sqrt[{3}]{1+k}},\quad b=+{\sqrt {1+{\frac {k}{a}}}},\quad c=+{\sqrt {1+{\frac {k}{b}}}}\,;$

quelle sera celle de l’équation

$x^{5}-x-k=0,$

si l’on pose