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RÉSOLUES.

cas, en désignant par $m$ le nombre des lettres $a,b,c,\ldots$ le produit à développer deviendrait

$\left(1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \right)^{m},$

ou

$\left({\frac {1}{1-x}}\right)^{m}\quad$ou enfin$\quad (1-x)^{-m}\,;$

or, le développement de cette puissance est

$1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}x^{2}+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}x^{n}+\ldots \,;$

donc, le nombre des diviseurs de $n$ dimensions du monôme $a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ dans lequel il y a $m$ lettres et où $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont des exposans quelconques $>n$ est

${\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}.$

Or, si l’on demandait le nombre des termes du polynôme complet et homogène de $n$ dimensions qu’on peut fermer avec $m$ sortes de lettres en nombre indéfini de chaque sorte, le problème reviendrait évidemment à celui-ci ; donc le nombre de ces termes est

${\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}={\frac {(m-n+1)!}{(m-1)!n!}}.$

Soit présentement une équation complète du $n.$^me degré entre $m$ inconnues $x,y,z,$ dont on demande le nombre des termes ; en introduisant dans chacun de ses termes une puissance d’une $(m+1)$^me inconnue, du degré nécessaire pour les rendre tous homogènes et de $n$ dimensions, son premier membre deviendra un polynôme homogène de $n$ dimensions, formé avec $m+1$ sortes