Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/383

369

RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes de combinaisons
proposés à la page 204 de ce volume ;

Par M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

PROBLÈME. De combien de manières peut-on choisir n lettres parmi m lettres, desquelles il s’en trouve un nombre $\alpha$ égales à a, un nombre $\beta$ égales à b, un nombre $\gamma$ égales à c, et ainsi de suite ? ou, en d’autres termes, combien le monôme $a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma },\ldots ,$ dans lequel $\alpha +\beta +\gamma +\ldots =m,$ admet-il de diviseurs de $n$ dimensions ?

Solution. On sait que tous les termes et les seuls termes du produit

$\left(1+a+a^{2}+\ldots +a^{\alpha }\right)\left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{\beta }\right)\left(1+c+c^{2}+\ldots +c^{\gamma }\right)\ldots$

sont les diviseurs du monôme $a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma },\ldots ,$ lesquels ne s’y trouvent chacun qu’une seule fois ; d’où il résulte que les diviseurs de $n$ dimensions de ce monôme sont les termes de $n$ dimensions du produit dont il s’agit.

Or, si l’on pose $a=b=c=\ldots =x,$ auquel cas ce même produit deviendra

$\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\alpha }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\beta }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\gamma }\right)\ldots$

ou encore

${\frac {1-x^{\alpha +1}}{1-x}}.{\frac {1-x^{\beta +1}}{1-x}}.{\frac {1-x^{\gamma +1}}{1-x}}\ldots \,;$