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INTÉGRATION

$\left\{\left(a+2bx+cx^{2}\right)-\left(p+2qx+rx^{2}\right)y\right\}$

$+\left\{\left(a'+2b'x+c'x^{2}\right)-\left(p'+2q'x+r'x^{2}\right)y\right\}k=0,$

dont la différentielle est

$\left\{2\left[(b+cx)-(q+rx)y\right]-\left(p+2qx+rx^{2}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}$

$+\left\{2\left[(b'+c'x)-(q'+r'x)y\right]-\left(p'+2q'x+r'x^{2}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}k=0\,;$

d’où, en éliminant la constante,

$\left\{\left(a+2bx+cx^{2}\right)-\left(p+2qx+rx^{2}\right)y\right\}.$

$\left\{2\left[(b'+c'x)-(q'+r'x)y\right]-\left(p'+2q'x+r'x^{2}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}$

$=\left\{\left(a'+2b'x+c'x^{2}\right)-\left(p'+2q'x+r'x^{2}\right)y\right\}.$

$\left\{2\left[(b+cx)-(q+rx)y\right]-\left(p+2qx+rx^{2}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}$

En résolvant cette équation par rapport à ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ développant, réduisant et ordonnant, on obtiendra un résultat de cette forme

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=2.{\frac {\left(A+2Bx+Cx^{2}\right)+2\left(D+2Ex+Fx^{2}\right)y+\left(G+2Hx+Ix^{2}\right)y^{2}}{P+4Qx+6Rx^{2}+4Sx^{3}+Tx^{4}}}\,;$(D)

dans lequel on aura

${\begin{alignedat}{2}ab'-ba'=&\ \ A,\quad (1)&\qquad pq'-qp'=&\ \ G,\quad (2)\\ac'-ca'=&2B,\quad (3)&pr'-rp'=&2H,\quad (4)\\bc'-cb'=&\ \ C,\quad (5)&qr'-rq'=&\quad I,\ \ \ \,(6)\\ap'-pa'=&\ \ P,\quad (7)&cr'-rc'=&\quad T,\ \ \ (8)\end{alignedat}}$