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INTÉGRATION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$Q^{2}-PR=B^{2}-AC,$

Et telle est l’équation de condition qui doit avoir lieu pour qu’une équation différentielle de la forme (D) admette une intégrale de la forme (I).

Lors donc que l’on rencontrera une équation différentielle de la forme (D) qui satisfera à cette condition, on pourra être certain qu’elle a une intégrale de la forme (I), et, pour l’obtenir, on prendra arbitrairement trois des huit coefficiens $a,a',b,b',p,p',q,q',$ en les choisissant telles néanmoins qu’ils ne soient ni tous pourvus, ni tous dépourvus d’accens. Supposons, pour fixer les idées, que ce soient les trois coefficiens $a,b,a'\,;$ l’équation (I) fera connaître $b',$ et ensuite $p,q$ seront donnés par (7, 8), tandis que $p',q'$ le seront par (7′, 8′) ; il ne sera donc plus question que de substituer les valeurs de ces coefficiens dans la formule (I) pour avoir l’intégrale demandée^[1].

1. La formule (D} revient à
   ${\frac {\operatorname {d} x}{P+2Qx+Rx^{2}}}={\frac {\operatorname {d} y}{A+2By+Cy^{2}}},$

   où encore à

   ${\frac {R\operatorname {d} x}{R^{2}x^{2}+2QRx+PR}}={\frac {C\operatorname {d} y}{C^{2}y^{2}+2BCy+AC}}.$

   Si l’on a, comme on le suppose ici, $B^{2}-AC=Q^{2}-PR\,;$ en représentant de ces deux binômes par $M^{2},$ on pourra, dans les dénominateurs des deux membres changer respectivement $PR$ et $AC$ en $Q^{2}-M^{2}$ et $B^{2}-M^{2},$ ce qui changera notre équation en celle-ci :

   ${\frac {R\operatorname {d} x}{(Rx+Q)^{2}-M^{2}}}={\frac {C\operatorname {d} y}{(Cy+B)^{2}-M^{2}}}\,;$

   posant alors