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DES ÉQUATIONS.

et on pourra profiter de l’indétermination de $l,m,n$ pour rendre trois des coefficiens égaux à trois nombres donnés ; d’où il suit que, dans les deux séries de coefficiens

${\begin{array}{lclclcl}a&,&b&,&p&,&q,\\a'&,&b'&,&p'&,&q',\end{array}}$

de la formule (I) on peut toujours amener trois des coefficiens à devenir trois nombres donnés, pourvu que ces coefficiens n’appartiennent pas tous trois à une même série, et qu’on modifie les cinq autres conformément au changement que ceux-là auront éprouvé ; on n’aura fait ainsi, en effet, que l’équivalent d’une transformation de constante arbitraire, et conséquemment la valeur de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ délivrée de cette constante, ne sera aucunement affectée de ce changement.

En chassant le dénominateur et transposant, la valeur de $y$ donne

$\left\{(a+bx)-(p+qx)y\right\}+\left\{(a'+b'x)-(p'+q'x)y\right\}k=0,$

dont la différentielle est

$\left\{(b-qy)-(p+qx){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}+\left\{(b'-q'y)-(p'+q'x){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}k=0\,;$

éliminant $k$ entre l’une et l’autre, il viendra, en développant, réduisant et ordonnant,

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {(ab'-ba')+\left[(bp'-pb')-(aq'-qa')\right]y+(pq'-qp')y^{2}}{(ap'-pa')+\left[(bp'-pb')-(aq'-qa')\right]x+(bq'-qb')x^{2}}},$

qu’on pourra représenter par