Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/354

340

QUESTIONS

${\begin{array}{rcr|l}{\text{Nombre }}n&{\text{proposé}}\ldots &6192&\\-1.9&\ldots &{\underline {\qquad 9}}&\\1.^{er}{\text{ reste.}}&\ldots &6183&\\-2.90&\ldots &{\underline {\quad 180}}&\\2.^{e}\;{\text{ reste.}}&\ldots &6003&\\-3.900&\ldots &{\underline {\ \ 2700}}&\\3.^{e}\;{\text{ reste.}}&\ldots &3303&{\underline {\ \ 4\quad {\text{diviseur}}}}\\&{\text{reste}}\ldots &3&1825{\text{ quotient augmenté}}\\&&&\ldots \end{array}}$

Le chiffre cherché est $2$.

Voilà sous quelle forme M. Ollive a présenté le procédé. MM. Lenthéric et Vecten ont cherché à l’abréger, en remplaçant cette suite de soustractions par une soustraction unique de la somme de tous les nombres à retrancher ; ils ont entrevu sans doute que ces nombres formant la suite très-régulière

$1.9+2.90+3.900+4.9000+\ldots$

la somme de cette suite, à quelque nombre de termes qu’on le bornât, devait affecter une forme également régulière ; et l’examen dans lequel ils se sont engagés à ce sujet a pleinement justifié ce soupçon.

On a, en effet,

${\begin{array}{lcr}1.9\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &=&9,\\1.9+2.90\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &=&189,\\1.9+2.90+3.900\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &=&\quad 2889,\\\end{array}}$