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RÉSOLUES.

une même droite, et ne déterminant ainsi que $n-5$ nouvelles droites ; de sorte que nous arriverons finalement à $n-1$ points situés sur une droite unique, désignée par ${\overline {123\ldots n}}.$

Démonstration. Pour les mêmes raisons déjà déduites ci-dessus nous ne supposerons seulement que cinq droites données, et respectivement désignées par

${\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}}\,;$

de sorte que leurs quatre points d’intersections consécutives seront

$({\overline {1}},{\overline {2}}),\quad ({\overline {2}},{\overline {3}}),\quad ({\overline {3}},{\overline {4}}),\quad ({\overline {4}},{\overline {5}}).$

Supposons que ces droites soient les directions de cinq forces d’un même système dont il s’agit de trouver la résultante ; à cause de la complète indétermination du sens et de l’intensité de ces forces, on pourra toujours supposer que les quatre droites arbitraires

${\overline {12}},\quad {\overline {23}},\quad {\overline {34}},\quad {\overline {45}},$

sont les directions respectives des résultantes des couples de forces

${\overline {1}}$ et ${\overline {2}},\quad {\overline {2}}$ et ${\overline {3}},\quad {\overline {3}}$ et ${\overline {4}},\quad {\overline {4}}$ et ${\overline {5}},$

Il est clair, en second lieu, que les points

$({\overline {1}},{\overline {23}}),\quad ({\overline {2}},{\overline {34}}),\quad ({\overline {3}},{\overline {45}}),$

ainsi que les points

$({\overline {12}},{\overline {3}}),\quad ({\overline {23}},{\overline {4}}),\quad ({\overline {34}},{\overline {5}}),$

seront respectivement sur la direction des résultantes des systèmes de trois forces

${\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\,;\quad {\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}}\,;\quad {\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}},$

d’où il suit que les droites