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CIRCULAIRES.

$\operatorname {Cos} .y=\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y+\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .(x-y).$

En changeant $\operatorname {Cos} .^{2}x$ en $1-\operatorname {Sin} .^{2}x,$ effaçant alors le terme $\operatorname {Cos} .y,$ commun aux deux membres, divisant ensuite par $\operatorname {Sin} .x$ et transposant, on aura

$\operatorname {Sin} .(x-y)=\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y.\qquad$(II)

Si, présentement, dans les équations (I, II), on change $x$ en $x+y$ elles deviendront, en renversant

$\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .(x+y)+\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .(x+y)=\operatorname {Cos} .x,$

$\operatorname {Cos} .y\operatorname {Sin} .(x+y)-\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .(x+y)=\operatorname {Sin} .x\,;$

prenant la différence des produits de la première par $\operatorname {Cos} .y$ et de la seconde par $\operatorname {Sin} .y,$ puis la somme des produits de la première par $\operatorname {Sin} .y$ et de la seconde par $\operatorname {Cos} .y,$ en se rappelant chaque fois que $\operatorname {Sin} .^{2}y+\operatorname {Cos} .^{2}y=1,$ il viendra,

$\operatorname {Cos} .(x+y)=\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y,\qquad$(III)

$\operatorname {Sin} .(x+y)=\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y\,;\qquad$(IV)

de manière que nos quatre formules fondamentales se trouveront ainsi établies, sans avoir fait aucune supposition particulière sur la grandeur des arcs $x$ et $y.$