Les constructions qui précèdent ont l’avantage d’être fort simples, puisqu’elles n’exigent que le tracé de lignes droites et qu’elles dispensent de construire les cordes communes ou les axes radicaux qui appartiennent aux trois cercles proposés, combinés deux à deux. On peut même éviter l’emploi direct des axes de similitude au moyen du procédé qui suit :
Ayant choisi, à volonté, trois centres de similitude, situés en ligne droite, et appartenant aux trois cercles donnés combinés deux à deux ; prenez sur l’un d’eux une corde quelconque ; cherchez son homologue inverse par rapport à puis l’homologue inverse de celle ci par rapport à et ainsi de suite, en procédant constamment dans le même ordre. Après la sixième opération, vous retomberez évidemment sur la première corde. Vous n’aurez donc, en tout, que seize lignes droites à tracer, y compris les deux cordes de chaque cercle, lesquelles se rencontreront en un point qui appartiendra à la corde de contact cherchée relative à ce cercle. Cela posé, tracez les deux nouvelles cordes qui réunissent deux à deux celles des extrémités des premières qui ne proviennent pas de la même combinaison, et qui sont par conséquent indépendantes entre elles ; ces deux cordes, ainsi obtenues dans chaque cercle, se rencontreront en un second point, appartenant à la corde de contact cherchée, laquelle sera ainsi parfaitement déterminée, pour chacun des cercles proposés.
Les constructions et propositions qui précèdent subsistent, d’une manière analogue, pour trois et quatre sphères, données à volonté dans l’espace, pour trois cônes qui ont un même sommet, et enfin pour trois cercles quelconques tracés sur une même sphère. On s’en convaincra d’une manière tout-à-fait simple, dans ce dernier cas, en considérant l’un des quatre systèmes de trois surfaces coniques qui renferment deux à deux les cercles proposés, et examinant ce qui se passe dans le plan d’une section quelconque renfermant la droite ou axe qui joint les trois sommets correspondans ; car, en supposant ensuite que ce plan se meuve autour de l’axe dont
