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ÉQUATIONS

$z=\omega e^{ty},\ u$ et $\omega$ étant des fonctions indéterminées de $x-y.$ Faisant, pour abréger, $x+y=\nu ,$ et observant que

${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} \nu }},\qquad {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \nu }},$

on aura, pour déterminer $u$ et $\omega ,$ les équations à deux variables

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} \nu ^{2}}}+(t+p+q){\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} \nu }}+(tp+r)u=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} \nu ^{2}}}+(t+p+q){\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \nu }}+(tq+r)\omega =0,\end{aligned}}$

En faisant

$u=\operatorname {F} (\nu ,t),\qquad \omega =\operatorname {f} (\nu ,t),$

et représentant par $T,T_{1}$ des fonctions arbitraires de $t,$ on aura

$z=\int e^{tx}T\operatorname {F} (\nu ,t)\operatorname {d} t+\int e^{ty}T_{1}\operatorname {f} (\nu ,t)\operatorname {d} t.$

Si la quantité $s,$ de la forme générale, était une fonction quelconque de $\nu ,$ on trouverait aisément que la série qui la renferme se ramènerait à l’intégrale de l’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} \nu ^{2}}}+(p+q){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \nu }}+rz=s,$

sans constantes arbitraires. Il faut observer que ces principes s’appliquent à une équation d’un ordre quelconque, entre un nombre quelconque de variables.

Soit l’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=\nu {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\xi \omega {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+\xi \varpi z,\qquad (b)$