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LINÉAIRES.

tion générale du second ordre sous un autre point de vue. Par la méthode que M. Laplace a indiquée, on sait ramener toute équation du second ordre à l’une des formes suivantes :

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+p{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+q{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+rz=s,\qquad (\mathrm {A} )\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}\quad +p{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+q{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+rz=s\,;\qquad (\mathrm {B} )\end{aligned}}$

où $p,q,r,s$ sont des fonctions quelconques de $x$ et $y$ qui se déduisent des variables indépendantes de l’équation proposée par l’intégration de deux équations du premier ordre.

Je commence par la première ; et, en faisant

$e^{\int p\operatorname {d} y}=n,\quad e^{\int q\operatorname {d} y}=mn,\quad pq+{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}-r=\nu ,$

je lui donne la forme

${\frac {\operatorname {d} \left\{m{\frac {\operatorname {d} (nz)}{\operatorname {d} y}}\right\}}{\operatorname {d} x}}=mns+mn\nu z.$

On voit que cette équation s’intègre immédiatement sous forme finie lorsque $\nu =0.$ En supposant respectivement $\psi$ et $\phi$ fonctions arbitraires de $x$ et $y,$ et faisant,

${\frac {\psi }{n}}+{\frac {1}{n}}\int {\frac {\phi }{m}}\operatorname {d} y+{\frac {1}{m}}\int {\frac {1}{m}}^{x}\!\int mns\operatorname {d} y\operatorname {d} x=T,$

on trouvera

$z=T+{\frac {1}{n}}^{y}\!\int {\frac {1}{m}}^{x}\!\int mn\nu z\operatorname {d} y\operatorname {d} x,$

c’est-à-dire,