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LINÉAIRES.

$A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ étant seulement fonctions des variables indépendantes renfermées dans $\operatorname {f} z,$ et $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ des fonctions des variables indépendantes renfermées dans $\phi z\,;$ mais on voit, en même temps, que cette forme ne peut être générale que lorsque $\operatorname {f} z$ ou $\phi z$ ne contient qu’une seule variable indépendante ; car l’intégrale générale doit contenir des fonctions arbitraires de toutes les variables indépendantes moins une, ce qui n’est possible ici que dans le cas que nous avons indiqué. C’est pourquoi je suppose que$\operatorname {f} z$ ne contient qu’une seule variable indépendante, et alors l’intégrale peut être générale, comme on s’en assurera facilement par le principe des substitutions successives ; mais aussi je ferai voir qu’on peut satisfaire à l’équation proposée de beaucoup d’autres manières. En effet, pour déterminer les quantités $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$$B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ on n’a que la condition

$A_{1}\phi B_{1}+A_{2}\phi B_{2}+\ldots +A_{m}\phi B_{m}+\ldots =B_{1}\operatorname {f} A_{1}+B_{2}\operatorname {f} A_{2}+\ldots B_{m}\operatorname {f} A_{m}+\ldots$

Or, pour avoir l’intégrale complète, il faut avoir $m$ fonctions arbitraires, $m$ étant l’ordre de l’équation proposée ; il faut donc absolument qu’un nombre $m$ des quantités $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ soient indéterminées, $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ étant seulement fonctions d’une variable, ce qui est impossible, à moins qu’on n’ait

$\operatorname {f} A_{1}=0,\ \operatorname {f} A_{2}=0,\ldots \operatorname {f} A_{m}=0\,;$

conditions qui introduisent $m$ constantes arbitraires, assujetties seulement à ne pas rendre égales entre elles deux des quantités $A_{1},A_{2},\ldots .$ Il s’agit donc seulement de satisfaire aux équations

$A_{1}\phi B_{1}=B_{m+1}\operatorname {f} A_{m+1},\qquad A_{2}\phi B_{2}=B_{m+2}\operatorname {f} A_{m+2},\ldots$

ce à quoi on parvient facilement en supposant

$B_{m+1}=\phi B_{1},\quad B_{m+2}=\phi B_{2},\quad B_{m+3}=\phi B_{3},\ldots$