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LINÉAIRES.

qui renferme $mn$ quantités indéterminées. Dans tous les cas particuliers ou elles satisfont aux coefficiens de l’équation proposée, on sait ramener celle-ci à des équations du premier ordre. Il est d’ailleurs facile de voir qu’un terme indépendant de $z$ ne changerait en rien ce procédé. Mais l’équation à deux variables est la seule qu’on puisse toujours mettre sous cette forme, quoique la détermination des quantités $P_{m,1},P_{m-1,1},\ldots$ mène, en général à des équations plus difficiles à traiter que la proposée elle-même, ainsi que nous l’avons déjà vu ; mais l’équation générale du second ordre a déjà ${\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}$ conditions de trop ; et plus les ordres sont élevés, et plus aussi le nombre des conditions surpasse celui des quantités à déterminer. Pour satisfaire à toutes les conditions, on introduit souvent avec succès de nouvelles variables, par rapport auxquelles on obtient alors des intégrales définies on indéfinies ; mais, le plus souvent, ces recherches conduisent à des équations plus difficiles que celles qu’on s’était d’abord proposées. Il faut d’ailleurs observer que, pour le cas des coefficiens constans, les quantités $P_{m,1},P_{m-1,1},\ldots$ prennent les mêmes propriétés que de simples facteurs, comme l’a fait voir M. Brisson.

Maintenant, après avoir observé combien sont particuliers les cas où une équation s’intègre immédiatement sous forme finie, je vais reprendre le principe général, pour exposer les principales modifications qu’il doit subir pour devenir applicable aux équations partielles, et, en particulier, à celles qui ne renferment que deux variables indépendantes. Il s’agit seulement de partager l’équation de la manière la plus avantageuse, et pour cela, ce qui paraît le plus simple est de déterminer autant de coefficiens que possible, par des équations du premier ordre, comme nous venons de l’exposer, et puis de transporter les termes indéterminés de l’autre côté, ce qui donne à l’équation proposée la forme

$\operatorname {D} \left[P_{m,n},\operatorname {D} \left[P_{m-1,n},\operatorname {D} \left[\ldots \operatorname {D} \left[P_{1,n},z\right]\ldots \right]\right]\right]=\operatorname {f} z,$