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ÉQUATIONS

thode que je me propose d’exposer suivant les principes établis au commencement de ce mémoire ; mais il faut commencer par la discussion du cas où l’équation s’intègre immédiatement sous forme finie, ou du moins par celui où son intégrale se ramène à celle d’une équation du premier ordre ; et l’on verra ainsi pourquoi on ne peut obtenir cet avantage que dans des cas particuliers.

Supposons, pour abréger, qu’une équation de l’ordre $m,$ à $n$ variables indépendantes, contienne les variables indépendantes dans tous ses termes ; elle renfermera, en général, un nombre de coefficiens exprimé par

${\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}\ldots {\frac {m+n}{n}}-1\,;$

et il s’agira de lui donner telle forme que l’on parvienne à l’intégrale complète par l’intégration de $m$ équations du premier ordre ; mais chacune de ces équations ne renfermant, en général, que $n$ coefficiens, il n’est pas possible d’introduire, de cette manière, plus de $mn$ quantités indéterminées dans l’équation proposée ; et, à moins qu’on n’ait

$mn>{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}\ldots {\frac {m+n}{n}}-2,$

il devient impossible d’y satisfaire, en général. En effet, si l’on fait, pour abréger,

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+P_{m,1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+P_{m,2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}+\ldots +P_{m,n}z=\operatorname {D} \left[P_{m,n},z\right],$

$P_{m,1},P_{m,2},\ldots P_{m,n}$ étant des fonctions quelconques des variables indépendantes ; on formera l’équation

$\operatorname {D} \left[P_{m,n},\operatorname {D} \left[P_{m-1,n},\operatorname {D} \left[\ldots \operatorname {D} \left[P_{1,n},z\right]\ldots \right]\right]\right]=0,$