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ÉQUATIONS

par laquelle on ne saurait satisfaire à trois conditions. En effet en comparant, on trouve

${\frac {\operatorname {d} N_{x+1}}{N_{x+1}\operatorname {d} x}}=P_{1},\qquad {\frac {\Delta \left(M_{x}N_{x}\right)}{M_{x+1}N_{x+1}}}=Q_{x}{\frac {\Delta \left(M_{x}{\frac {\operatorname {d} N_{x}}{\operatorname {d} x}}\right)}{M_{x+1}N_{x+1}}}=R_{x}.$

On tire des deux premières

$N_{x+1}=e^{\int P\operatorname {d} x},\qquad M_{x}N_{x}={\frac {1}{\left[1-Q_{x-1}\right]^{x-1}}},$

et, pour satisfaire à la dernière relation, il faut mettre l’équation sous la forme

$\Delta \left\{M_{x}{\frac {\operatorname {d} \left(N_{x}y\right)}{\operatorname {d} x}}\right\}=M_{x+1}N_{x+1}\left\{P_{x}+\left(Q_{x}-1\right)P_{x-1}-R_{x}\right\}y,$

d’où on tire, en représentant par $T_{x}$ le coefficient de $y$ dans le second membre,

$y={\frac {c}{N_{x}}}+{\frac {1}{N_{x}}}\int {\frac {\alpha \operatorname {d} x}{M_{x}}}+{\frac {1}{N_{x}}}\int {\frac {\operatorname {d} x}{M_{x}}}\Sigma M_{x+1}N_{x+1}S_{x}+{\frac {1}{N_{x}}}\int {\frac {\operatorname {d} x}{M_{x}}}\Sigma T_{x}y\,;$

$c$ étant une constante, et $\alpha$ une fonction telle que $\Delta \alpha =0.$ Si ensuite on représente par $Z$ la partie indépendante de $y,$ on aura, en sous-entendant les indices,

$y=Z+{\frac {1}{N}}\int {\frac {1}{M}}\Sigma TZ\operatorname {d} x+{\frac {1}{N}}\int {\frac {1}{M}}\Sigma {\frac {T}{N}}\int {\frac {1}{M}}\Sigma TZ\operatorname {d} x^{2}+\ldots$

On trouve facilement une seconde forme générale, en mettant l’équation proposée sous la forme d’une différentielle complète ; mais, dans tous les cas, la succession alternative des signes $\int$ et $\Sigma$ soumet ces formules générales à des difficultés qui font ressortir les avantages des travaux de MM. Biot et Poisson sur le même sujet.