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DES CERCLES, DES SPHÈRES, ETC.

En considérant ensuite les trois sphères ${\rm {B,B',A',}}$ on verra pareillement (36) que les trois points ${\rm {E}}',e,{\rm {S,}}$ sont en ligne droite, et qu’il en est de même des trois points ${\rm {I}}',i,{\rm {S.}}$

La droite qui contient les trois points $e,{\rm {E,S}}$ et celle qui contient les trois points ${\rm {E}}',e,{\rm {S,}}$ ayant ainsi deux points communs $e,{\rm {S\,;}}$ elles doivent ne faire qu’une seule et même droite ; et conséquemment les deux points ${\rm {E,E'}}$ doivent être en ligne droite avec le point ${\rm {S.}}$

Pareillement, la droite qui contient les trois points $i,{\rm {I,S,}}$ et celle qui contient les trois points ${\rm {I}}',i,{\rm {S,}}$ ayant ainsi deux points communs $i,{\rm {S\,;}}$ elles doivent se confondre en une seule et même droite ; et conséquemment les deux points ${\rm {I,I'}}$ doivent être en ligne droite avec le point ${\rm {S.}}$

La proposition se trouve donc ainsi complètement démontrée.

60. Nous appellerons à l’avenir axe de similitude de deux cônes de mêmes sommets, la droite qui contient les centres de similitude de même dénomination de tous les systèmes de deux sphères respectivement inscrites à ces deux cônes. Ces axes de similitude seront dits internes ou externes, suivant qu’ils contiendront les centres de similitude internes ou les centres de similitude externes des systèmes de sphères dont il s’agit. Ce sont deux droites passant par le sommet commun des deux cônes, situées dans le même plan avec leurs axes, et dont la direction ne dépend uniquement que de la grandeur et de la situation respective de ces deux cônes^[1].

61. Il est aisé de voir que, lorsque les deux cônes sont extérieurs l’un à l’autre, leurs axes de similitude, interne et externe, ne sont autre chose (58) que les arêtes des angles dièdres, tant intérieur qu’extérieur, circonscrits à ces deux cônes.

62. THÉORÈME. Les axes de similitude externes de trois cônes de même sommet, pris successivement deux à deux, sont tous trois

1. La dénomination d’axe de similitude est impropre, attendu qu’il n’y a de cônes semblables que des cônes égaux ; aussi ne l’employons-nous que par analogie.