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ÉQUATIONS

Dans ce cas, on peut envisager la différence et l’intégrale finie comme des fonctions linéaires de la différentielle et de l’intégrale qui y répond ; et cette relation a donné lieu à une infinité de formes créées par l’analogie, et puis rigoureusement vérifiées par des considérations générales. Mais, comme ces recherches sortent de mon sujet, je me permets seulement d’exposer ici une liaison entre la différentielle et la différence, qui correspond parfaitement à celle qui existe entre les fonctions exponentielles et les puissances, indépendamment des expressions en séries.

En effet, si l’on observe que l’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{n}\left(e^{nx}y\right)}{\operatorname {d} x^{n}}}=n^{n}e^{nx}\left\{y+{\frac {n}{1.n}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {n(n-1)}{1.2n^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+\ldots \right\},$

par la supposition de $n=\infty ,$ se change dans celle-ci ;

${\frac {1}{n^{n}.e^{nx}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n}\left(e^{nx}y\right)}{\operatorname {d} x^{n}}}=y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {1}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots$

qui revient à

${\frac {1}{n^{n}.e^{nx}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n}\left(e^{nx}y\right)}{\operatorname {d} x^{n}}}=y+\Delta y,$

on trouve que la génération de cette dernière quantité à beaucoup d’analogie avec celle de $e^{x}={\frac {(n+z)^{n}}{n^{n}}},\ n$ étant $=\infty .$

Comme les intégrations aux différences finies sont, en général beaucoup plus difficiles à effectuer que celles aux différentielles ; on verra que la méthode générale exposée au commencement de ce mémoire s’applique, avec d’autant moins de succès, aux équations qui nous occupent présentement, que la considération des valeurs successives, qui réduit l’intégration à des éliminations, offre des résultats plus simples et plus généraux, c’est pourquoi je ne traiterai que brièvement de cette espèce d’équations.

Soit donc l’équation