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ÉQUATIONS

$y=a_{0}\left\{{\begin{alignedat}{1}1+{\frac {be^{\beta x}}{\beta (\beta +\alpha )}}&+&{\frac {b^{2}e^{2\beta x}}{\beta .2\beta (\beta +\alpha )(2\beta +\alpha )}}+\ldots \\&&\qquad \qquad +b^{m}A_{m,0}e^{m\beta x}+\ldots \\+{\frac {ce^{\gamma x}}{\gamma (\gamma +\alpha )}}&+&\left\{{\frac {1}{\beta (\beta +\alpha )}}+{\frac {1}{\gamma (\gamma +\alpha )}}\right\}{\frac {bce^{(\beta +\gamma )x}}{(\beta +\gamma )(\beta +\gamma +\alpha )}}\\&&\qquad \qquad +\ldots +b^{m-1}cA_{m,1}e^{\left[(m-1)\beta +\gamma \right]x}+\ldots \\&+&{\frac {c^{2}e^{2\gamma x}}{\gamma .2\gamma (\gamma +\alpha )(2\gamma +\alpha )}}\\&&\qquad \qquad +\ldots +\ldots \\&&\qquad \qquad +\ldots b^{m-n}c^{n}A_{m,n}e^{\left[(m-n)\beta +n\gamma \right]x}\\&&\qquad \qquad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&&\qquad \qquad +c^{m}A_{m,m}e^{m\gamma x}+\ldots \\\end{alignedat}}\right\}$

$+a_{1}e^{-\alpha }\left\{{\begin{array}{rl}1+{\frac {be^{\beta x}}{\beta (\beta -\alpha )}}&+{\frac {b^{2}e^{2\beta x}}{\beta .2\beta (\beta -\alpha )(2\beta -\alpha )}}+\ldots \\+{\frac {ce^{\gamma x}}{\gamma (\gamma -\alpha )}}+\left\{{\frac {1}{\beta (\beta +\alpha )}}+{\frac {1}{\gamma (\gamma +\alpha )}}\right\}&{\frac {bce^{(\beta +\gamma )x}}{(\beta +\gamma )(\beta +\gamma -\alpha )}}+\ldots \\+{\frac {c^{2}e^{2\gamma x}}{\gamma .2\gamma (\gamma -\alpha )(2\gamma -\alpha )}}&+\ldots \\\end{array}}\right\}\,;$

où il faut remarquer que chacun des termes de la dernière série se déduit de son correspondant dans la première, par le simple changement du signe de $\alpha .$ Quant aux coefficiens $A_{m,0},A_{m,1},\ldots A_{m,m},$ ils se déterminent, en général, au moyen de l’équation

$A_{m+1,n+1}={\frac {A_{m,n}+A_{m,n+1}}{\left[(m-n)\beta +(n+1)\gamma +\alpha \right]\left[(m-n)\beta +(n+1)\gamma \right]}},$

dont l’intégration entraîne déjà des calculs assez longs. On pourrait maintenant tenter de ramener les séries obtenues à une forme finie,