Cette équation se recommande particulièrement à raison de l’application à la physique qu’elle peut offrir. Si, en effet, on y suppose on obtient celle qui détermine la figure d’une large goutte de mercure abandonnée à elle-même sur un disque de verre horizontal (Voyez le Supplément à la théorie de l’action capillaire), et à laquelle M. Laplace satisfait par une intégrale définie, sans constante arbitraire, qui revient à la dernière des séries que nous venons de présenter. L’on voit que la difficulté consiste seulement à trouver la forme que prend l’intégrale cherchée ; car, après cela, les coefficiens se déterminent aisément par la méthode des différences, comme M. Lacroix l’a présenté (Traité des différences et des séries, pag. 216 et suiv.).
Je n’ajouterai plus qu’un seul exemple qui suffira pour éclaircir les principes, qui n’ont d’ailleurs aucune difficulté ; et l’on verra qu’en général les équations, qui ne sont pas trop compliquées, ont déjà des intégrales très-prolixes ; c’est pourquoi je me bornerai seulement à faire voir les formes que celles-ci doivent avoir, et à indiquer la marche qu’il faut suivre pour déterminer les coefficiens.
Soit donc l’équation
on aura
d’où
