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ÉQUATIONS

$+{\frac {\varepsilon x^{\delta +2}}{(\delta +2)(\delta +\alpha +1)}}\left\{1-{\frac {\beta x^{\gamma +2}}{(\delta +\gamma +4)(\delta +\gamma +3+\alpha )}}\right.$

$\left.+{\frac {\beta ^{2}x^{2\gamma +4}}{(\gamma +\delta +4)(2\gamma +\delta +6)(\delta +\gamma +\alpha +3)(\delta +2\gamma +\alpha +5)}}-\ldots \right\}$

ce qu’on trouverait aussi par la méthode des coefficiens indéterminés ; mais, dans le cas où $\alpha =1,$ on n’y réussirait pas ; car alors il s’introduit des quantités infinies dans la série, ce qui annonce un changement de forme (Calcul des fonctions, leçon XVIII) ; il s’agit donc de savoir quelle est la forme de la valeur de $y$ qui répond à ce cas ; or, on trouve alors

$y=a_{1}-a_{0}\operatorname {Log} .x+{\frac {\varepsilon x^{\delta +2}}{(\delta +2)^{2}}}-\beta \int {\frac {1}{x}}\int x^{\gamma +1}y\operatorname {d} x^{2},$

c’est-à-dire,

$y=\left(a_{1}+a_{0}\operatorname {Log} .\right)\left\{1-{\frac {\beta x^{\gamma +2}}{(\gamma +2)^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}x^{2\gamma +4}}{1.2^{2}.(\gamma +2)^{4}}}-{\frac {\beta ^{3}x^{3\gamma +6}}{1.2^{2}.3^{2}(\gamma +2)^{6}}}+\ldots \right\}$

$-a_{0}\left\{{\frac {A_{1}\beta x^{\gamma +2}}{(\gamma +2)^{3}}}-{\frac {A_{2}\beta ^{2}x^{2\gamma +4}}{2.1.2^{2}.(\gamma +2)^{6}}}+{\frac {A_{3}\beta ^{3}x^{3\gamma +6}}{3.1.2^{2}.5(\gamma +2)^{7}}}-\ldots \right\}$

$+{\frac {\varepsilon x^{\delta +2}}{(\gamma +2)^{2}}}\left\{1-{\frac {\beta x^{\gamma +2}}{(\delta +\gamma +4)^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}x^{2\gamma +4}}{(\delta +\gamma +4)^{2}(\delta +\gamma +6)^{2}}}-\ldots \right\}$

$A_{1},A_{2},\ldots$, étant des constantes qui se déterminent par l’équation

$A_{n+1}={\frac {n+1}{n}}A_{n}+2,$

d’où

$A_{n}=n\Sigma {\frac {2}{n+1}}\,;$

ce qui donne