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ÉQUATIONS

pour les intégrales des équations supérieures ; mais les raisons que j’ai données plus haut me les font passer sous silence ; et je vais m’occuper de quelques exemples particuliers qui sont plus propres à montrer l’usage et l’esprit de la méthode.

Nous avons vu quelles sont les équations les plus générales qui s’intègrent immédiatement, sous forme finie, par des fonctions exponentielles ou par des puissances ; je vais faire voir maintenant quelle est l’équation la plus générale dont l’intégrale se développe par une ou plusieurs séries de puissances ascendantes ou descendantes de la variable indépendante.

Pour cela, il faut que l’équation soit réductible à la forme

$x^{-\alpha _{n}}\left(x^{\alpha _{n}-\alpha _{n-1}}\left(\ldots \left(x^{\alpha _{2}-\alpha _{1}}\left(x^{\alpha _{1}}y\right)'\right)'\ldots \right)'\right)'\,;$

$=\alpha x^{b}+\delta x^{\varepsilon -\beta _{n}}\left(x^{\beta _{n}-\beta _{n-1}}\left(\ldots \left(x^{\beta _{2}-\beta _{1}}\left(x^{\beta _{1}}y\right)'\right)'\ldots \right)'\right)'\,;$

d’où l’on trouvera facilement

$y=c_{n}x^{-\alpha _{1}}+c_{n-1}x^{-\alpha _{2}+1}+c_{n-2}x^{-\alpha _{3}+2}+\ldots +c_{1}^{-\alpha _{n}+n-1}$

$+{\frac {ax^{b+n}}{\left(b+\alpha _{n}+1\right)\ldots \left(b+\alpha _{n}+n\right)}}$

$+\delta x^{-\alpha _{1}}\int x^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}\int \ldots \int x^{\varepsilon +\alpha _{n}-\beta _{n}}\left(x^{\beta _{n}-\beta _{n-1}}\left(\ldots \left(x^{\beta _{1}}y\right)'\ldots \right)'\right)'\operatorname {d} x^{n}\,;$

par des substitutions successives, on aura $n+1$ séries, dont chacune, divisée par une certaine puissance, procède seulement suivant les puissances ascendantes de $x^{\varepsilon }.$ Pour abréger, et attendu que toutes ont la même forme, je n’en développe qu’une seule, savoir :

$c_{n}x^{-\alpha _{1}}\left\{1+{\frac {\delta \left(\beta _{n}-\alpha _{1}-n+1\right)\left(\beta _{n-1}-\alpha _{1}-n+2\right)\ldots \left(\beta _{1}-\alpha _{1}\right)}{\left(\alpha _{n}-\alpha _{1}+\varepsilon -n+1\right)\left(\alpha _{n-1}-\alpha _{1}+\varepsilon -n+2\right)\ldots \varepsilon }}x^{\varepsilon }\right.$