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LINÉAIRES.

$y={\frac {a_{0}}{X_{1}}}+{\frac {a_{1}}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\operatorname {d} x+{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int X_{2}r\operatorname {d} x^{2}$

$+{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int {\frac {X_{2}s}{Z_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}(Z_{1}y)\right)\operatorname {d} x^{2}\,;$

représentant ensuite par $U$ la partie indépendante de $y$, on aura

$y=U+{\frac {1}{X_{1}1}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int {\frac {X_{2}s}{Z_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}(Z_{1}U)\right)\operatorname {d} x^{2}+\ldots$

On verra facilement que les grandes difficultés attachées à cette méthode tiennent principalement aux signes d’intégration, lorsque les fonctions $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ sont un peu générales ; mais on trouvera, en même temps, qu’il doit nécessairement y avoir de ces signes dans l’intégrale complète, qui ne saurait sans cela contenir des constantes arbitraires. Donc, s’il y avait des questions ou l’on n’eût besoin que d’une intégrale particulière, on parviendrait bien plus aisément à l’expression de la fonction inconnue, en mettant l’équation sous la forme

$y={\frac {R}{Q}}-{\frac {1}{QX_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(X_{1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right),$

dans laquelle

$X_{1}=e^{\int P\operatorname {d} x}\,;$

en employant alors les notations de Lagrange ; on aurait

$y={\frac {R}{Q}}-{\frac {1}{QX_{1}}}\left(X_{1}\left({\frac {R}{Q}}\right)'\right)'+{\frac {1}{QX_{1}}}\left(X_{1}\left({\frac {1}{QX_{1}}}\left(X_{1}\left({\frac {R}{Q}}\right)'\right)'\right)'\right)'-\ldots$

Il serait facile aussi de présenter un grand nombre de formes