Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/296

282

ÉQUATIONS

$X_{1}y=a_{0}+a_{1}x+\int ^{2}X_{1}R\operatorname {d} x^{2}-\int ^{2}X_{2}X_{1}y\operatorname {d} x^{2}\,;$

d’où, en posant

$a_{0}+a_{1}x+\int ^{2}X_{1}R\operatorname {d} x^{2}=U,$

on tirera

$y={\frac {1}{X_{1}}}\left(U-\int ^{2}X_{2}U\operatorname {d} x^{2}+\int ^{2}X_{2}\int ^{2}X_{2}U\operatorname {d} x^{4}-\int ^{2}X_{2}\int ^{2}X_{2}\int ^{2}X_{2}U\operatorname {d} x^{6}+\ldots \right)$

Si les fonctions $P,Q$ sont soumises à la seule condition de rendre $X_{2}$ égale à une constante $c^{2},$ on trouve facilement

$y={\frac {1}{X_{1}}}\left\{\operatorname {Sin} .(\alpha x+\beta )+\operatorname {Sin} .cx\int {\frac {1}{\operatorname {Sin} .^{2}cx}}\int \operatorname {Sin} .cx.X_{1}R\operatorname {d} x^{2}\right\}$

$\alpha$ et $\beta$ étant de nouvelles constantes arbitraires.

On pourrait encore parvenir à un grand nombre d’autres formules ; mais, ces recherches n’ayant aucune difficulté, d’après ce qui précède, je ne donnerai plus qu’un seul exemple, dont l’emploi devient nécessaire dans des cas particuliers, comme je le ferai voir ensuite. En mettant l’équation proposée sous la forme

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+p{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+qy=r+s\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+p_{1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+q_{1}y\right),$

et supposant d’ailleurs que chacun des deux membres s’intègre facilement, on fera

${\frac {1}{X_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(X_{1}y\right)\right)=r+{\frac {s}{Z_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(Z_{1}y\right)\right)\,;$

d’où