Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/289

275

LINÉAIRES.

$P={\frac {X_{1}'}{X_{1}}}+{\frac {X_{2}'}{X_{2}}}+{\frac {X_{3}'}{X_{3}}},$

$Q={\frac {1}{X_{3}}}\left({\frac {X_{3}X_{1}'}{X_{1}}}\right)+{\frac {1}{X_{3}}}\left({\frac {X_{3}X_{2}'}{X_{2}}}\right)+{\frac {1}{X_{2}}}\left({\frac {X_{2}X_{1}'}{X_{1}}}\right)',$

$R={\frac {1}{X_{3}}}\left({\frac {X_{3}}{X_{2}}}\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}X_{1}'\right)'\right)'.$

Il faut donc, par exemple, qu’on ait

${\frac {X_{3}'}{X_{3}}}=c_{3}{\frac {X_{1}'}{X_{1}}},\quad$d’où$\quad X_{3}=b_{3}X_{1}^{c_{3}}\,;$

en aura de même

$X_{2}=b_{2}X_{1}^{c_{2}},$

$b_{3},c_{3},b_{2},c_{2},$ étant des constantes. On doit encore avoir l’équation

${\frac {1}{X_{3}}}\left(X_{3}{\frac {X_{1}'}{X_{1}}}\right)'={\frac {c_{4}}{X_{2}}}\left({\frac {X_{2}X_{1}'}{X_{1}}}\right)',$

qui revient à

${\frac {X_{1}''}{X_{1}'}}+{\frac {c_{4}\left(c_{2}-1\right)-\left(c_{3}-1\right)}{1-c_{4}}}{\frac {X_{1}'}{X_{1}}}=0,$

$c_{4}$ étant une nouvelle constante. Posant donc

${\frac {c_{4}\left(c_{2}-1\right)-\left(c_{3}-1\right)}{1-c_{4}}}=\delta ,$

on aura

$X_{1}^{\delta }X_{1}'=h,\quad et\quad X_{1}=\left(g+(\delta +1)x\right)^{\frac {1}{\delta +1}},$

forme qui devient exponentielle, lorsque $\delta =-1.$