42. Nous appellerons à l’avenir plan radical de deux sphères le plan indéfini, mené perpendiculairement à la droite qui joint leurs centres, par leur centre radical ; c’est évidemment (18) le lieu géométrique des axes radicaux de tous les systèmes de deux cercles résultant de la section des deux sphères par des plans passant par leurs centres ; d’où il soit (19) que, lorsque les deux sphères se touchent ou se coupent, leur plan radical n’est autre chose que leur plan tangent commun, dans le premier cas, et celui de leur commune section dans le second.
43. THÉORÈME. Les tangentes menées à deux sphères de tous les points et des seuls points de leur plan radical sont égales entre elles, ou, en d’autres termes, les cènes circonscrits de même sommet, dont le sommet commun est sur le plan radical, et qui se terminent à leurs lignes de contact respectives, ont toujours et ont seuls leurs arêtes égales de part et d’autre.
Démonstration. Soient les centres des deux sphères, un point quelconque de l’espace, pris pour sommet commun de deux cônes circonscrits, et le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite qui joint les centres. Par les trois points soit conduit un plan ; tout sera dans ce plan, comme dans les figures 4 et 5 ; seront les axes des deux cônes, et en seront les arêtes ; donc (20), suivant que sera ou ne sera pas sur l’axe radical des deux cercles, les droites seront égales ou inégales, et réciproquement ; or, suivant que sera ou ne sera pas sur l’axe radical des deux cercles, ce même point sera ou ne sera pas sur le plan radical des deux sphères ; notre théorème se trouve donc ainsi démontré.
44. Nous appellerons à l’avenir centre radical de trois sphères, le centre radical des trois cercles résultant de leur section par le plan passant par leurs centres ; et nous appellerons axe radical des trois mêmes sphères, la perpendiculaire indéfinie menée par leur centre radical au plan qui contient leurs centres.
45. THÉORÈME. Les plans radicaux de trois sphères, prises,
