droite avec le milieu du côté Dans le cas particulier qui nous occupe donc, la suite des centres des hyperboles équilatères appartenant aux points doit se trouver sur la droite indéfinie comme cela a lieu en effet.
Dans la même hypothèse, où le point s’éloigne à l’infini et où les côtés deviennent par conséquent parallèles, le point de croisement des trois hauteurs du triangle étant aussi passé à l’infini, il est, dans ce cas particulier, bien évident que c’est, avec les trois autres, un quatrième point de l’hyperbole équilatère.
Il y a ici une remarque essentielle à faire ; c’est que, bien que par quatre points donnés à volonté sur un plan, on puisse toujours faire passer une hyperbole équilatère ; cependant, quand deux de ces points doivent être situés à l’infini, il n’est pas possible de se les donner arbitrairement, par le système de deux droites quelconques concourant respectivement en ces points ; il faut nécessairement que les droites dont il s’agit soient perpendiculaires entre elles, puisqu’elles doivent être parallèles aux asymptotes de la courbe.
Si le sommet du triangle (fig. 7), au lieu de s’écarter indéfiniment des deux autres se rapprochait, au contraire, de l’un d’eux jusqu’à ce que le côté devînt infiniment petit ou nul, en conservant toujours sa direction primitive ; les points se trouveraient eux-mêmes rapprochés à une distance infiniment petite l’un de l’autre, sur une parallèle à passant par le milieu du côté ou quant au point milieu du côté il serait confondu avec le sommet
Soit donc (fig. 9) la direction indéfinie de la droite qui renferme les deux points ou sommets confondus en un seul au point et soit le troisième point ou le troisième sommet que l’on considère ; divisons le double côté en deux parties égales au point par la parallèle à le cercle qui passera par et touchera la parallèle en représentera évidemment
