une nouvelle solution, très-directe et très-simple, du problème déjà résolu plus haut, dans lequel il s’agit de décrire une hyperbole équilatère passant par quatre points donnés sur un plan.
On peut tirer du Théorème III d’autres conséquences également remarquables.
Que (fig. 7) soient trois points quelconques, appartenant à une hyperbole équilatère ; si l’on divise les côtés du triangle formé par ces points, en deux parties égales, aux nouveaux points et que, par ces derniers, on mène les parallèles aux côtés elles viendront se couper en un point qui, d’après le théorème cité, appartiendra au cercle qui, passant par passe en outre par le centre de l’hyperbole équilatère ; mais le point se confond évidemment avec le milieu du troisième côté du triangle donc
THÉORÈME VII. Dans tout triangle inscrit à une hyperbole équilatère, le cercle qui passe par les trois points milieux des côtés passe aussi par le centre de la courbe.
Ou, ce qui revient au même,
Les centres de toutes les hyperboles équilatères circonscrites à un même triangle quelconque sont sur la circonférence d’un cercle qui renferme les trois points milieux des côtés de ce triangle.
On peut conclure de là et de ce qui précède que, quand un quadrilatère quelconque (fig. 6) est inscrit à une hyperbole équilatère, le centre de la courbe doit se trouver, à la fois, sur les circonférences de huit cercles différens.
En effet, si l’on trace les diagonales de ce quadrilatère, on obtiendra quatre triangles inscrits à la courbe, dont les points milieux qui sont aussi ceux des diagonales et des côtés du quadrilatère détermineront un égal nombre de circonférences, passant par le centre de cette courbe ; d’ailleurs, ce centre devra aussi se trouver sur la circonférence qui renferme les trois points où se coupent les diagonales et les côtés opposés du quadrilatère (Théorème VI) ; et il en
