S’il arrivait, dans le cas où l’on considère deux droites et leurs pôles que chacun de ces derniers fût situé sur la droite qui correspond à l’autre ; c’est-à-dire, si le point se trouvait sur et le point sur les parallèles se confondraient évidemment avec ces droites ; donc la circonférence qui renferme le centre de l’hyperbole équilatère correspondante passerait alors par le point où se rencontrent ces mêmes droites ; mais, d’après la théorie des pôles, ce point a évidemment pour polaire la droite qui passe par les points de sorte que ces trois points sont tels que chacun d’eux est le pôle de la droite qui contient les deux autres ; on peut donc énoncer la proposition suivante :
THÉORÈME IV. Lorsque trois points situés sur le plan d’une hyperbole équilatère sont tels que chacun d’eux est le pôle de la droite qui contient les deux autres, le cercle qui passe par ces trois points passe aussi par le centre de la courbe.
Quatre tangentes (fig. 6) à une même section conique, forment, par leur pénétration mutuelle, un quadrilatère complet dont les trois diagonales sont, comme l’on sait, telles que « chacune d’elles est la polaire de l’intersection des deux autres » ; de sorte que, si la courbe est une hyperbole équilatère, la circonférence qui passera par les trois points intersection des diagonales, passera aussi, d’après ce qui précède, par le centre de la courbe ; d’où résulte ce nouveau théorème :
THÉORÈME V. Si l’on mène quatre tangentes quelconques à une hyperbole équilatère, le centre de la courbe sera situé sur la circonférence qui passe par les trois points d’intersection des diagonales du quadrilatère complet formé par ces tangentes.
Ou, ce qui revient au même,
Les centres de toutes les hyperboles équilatères tangentes à quatre droites quelconques, tracées sur un plan, sont situés sur la circonférence d’un cercle unique qui passe par les trois points
