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ÉQUILATÈRE.

Au moyen de ce qui précède, si on connaissait deux points ${\rm {A,B}}$ (fig. 3) de la courbe, et la tangente ${\rm {AP}}$ en l’un ${\rm {A}}$ de ces points, on pourrait en construire un troisième ${\rm {C}}$ en cette manière : du point ${\rm {B}}$ abaissez une perpendiculaire ${\rm {BC}}$ sur la tangente donnée, elle ira couper au point cherché ${\rm {C}}$ la perpendiculaire ${\rm {AC}}$ à ${\rm {AB}}$.

On sait donc résoudre ces trois problèmes :

Décrire une hyperbole équilatère dont on a trois points et la tangente en l’un d’eux ?

Décrire une hyperbole équilatère dont on a deux points et les tangentes en ces points ?

Décrire une hyperbole équilatère dont on a deux points, la tangente en l’un de ces points et une autre tangente quelconque ?

En effet, par la construction qui vient d’être indiquée, on obtiendra un nouveau point de la courbe ; après quoi, pour achever, on aura recours aux solutions connues de ces questions :^[1]

Décrire une section conique dont on a quatre points et la tangente en l’un d’eux ?

Décrire une section conique dont on a trois points et les tangentes en deux de ces points ?

Décrire une section conique dont on a trois points, une tangente quelconque et la tangente en l’un de ces points ?

Il résulte encore du théorème I que, lorsqu’on connaît trois points ${\rm {A,B,C}}$ (fig. 2) d’une hyperbole équilatère, on en a un quatrième ${\rm {D}}$ qui est le croisement des trois hauteurs du triangle ${\rm {ABC\,;}}$ en sorte qu’on sait aussi résoudre ces deux problèmes :

Décrire une hyperbole équilatère dont on a quatre points ?

Décrire une hyperbole équilatère dont on a trois points et une tangente ?

Car, au moyen de la construction indiquée, on obtiendra un

1. Mémoire sur les lignes du second ordre, etc., par C.  J. Brianchon, Paris, 1817.