rectangulaires, pour le cas de l’hyperbole équilatère, qui est celui dont il s’agit ici.
Les deux derniers sommets de l’hexagone inscrit à cette courbe étant ainsi portés à l’infini, les quatre autres resteront arbitraires. Soient donc pris a volonté les trois premiers (fig. 2), et soit marqué le quatrième tel que les deux côtés respectivement opposés à soient rectangulaires entre eux. Il résulte de ceci que est perpendiculaire sur D’ailleurs est perpendiculaire sur par la propriété des asymptotes ; donc le point est le croisement des trois hauteurs du triangle donc est perpendiculaire sur et conséquemment aussi sur , parallèle à Mais, par construction, est perpendiculaire sur donc le point est le croisement des trois hauteurs du triangle Or, le triangle a été inscrit à volonté à la courbe ; donc généralement « dans tout triangle inscrit à une hyperbole équilatère, le point de croisement des trois hauteurs est un point de la courbe » ; ce qu’il fallait démontrer.
Si l’un des angles du triangle inscrit varie de grandeur, en tendant vers l’angle droit, le point se déplacera sur la courbe en s’approchant continuellement du sommet ce qui revient à dire que la sécante perpendiculaire sur tendra sans cesse à toucher la courbe en et qu’enfin elle sera tangente quand l’angle sera droit. Donc.
THÉORÈME II. Dans tout triangle rectangle inscrit à une hyperbole équilatère, la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l’hypothénuse est tangente à la courbe.
Il suit de là que, si l’angle droit oscille sur son sommet, l’hypothénuse se déplacera parallèlement à elle-même et à la normale menée à ce sommet ; ce qui est un cas particulier du beau théorème démontré par M. Frégier dans le présent recueil[1].
- ↑ Voyez tom. VI, pag. 229 et 321, et tom. VII, pag. 95.
J. D. G.
