trouver deux nombres tels, qu’en divisant leur produit par leur somme, le quotient soit égal à un nombre donné ; il est clair que, dire que ces deux nombres sont et ou bien dire que ces deux nombres sont et c’est dire une seule et même chose ; tandis que si, au contraire, on considérait l’équation comme celle d’une certaine courbe, les deux systèmes de valeurs
appartiendraient à des points essentiellement différens. Quoiqu’il semble plus naturel d’envisager le présent problème sous le premier point de vue que sous le second ; c’est pourtant sous ce dernier que nous l’envisagerons d’abord, sauf à modifier ensuite la formule finale de manière à la rendre propre à l’autre cas.
Et, comme, en permutant entre eux les deux nombres et on ne fait que permuter également entre eux les deux nombres et nous envisagerons d’abord ces deux mêmes nombres et comme non permutables ; et comme ils doivent être premiers entre eux, et ne peuvent conséquemment être égaux que dans le seul cas où ils sont l’un et l’autre égaux à l’unité ; il en résulte que, ce seul cas excepté, il y aura deux fois plus de solutions dans la seconde hypothèse que dans la première. Si donc, dans cette seconde hypothèse, le nombre total des solutions est dans la première, ce nombre se réduira simplement à
Ces choses ainsi entendues, concevons que l’on prenne d’abord et égaux entre eux et à l’unité ; cela ne se pourra que d’une manière unique. Nous pourrons ensuite introduire successivement, d’abord dans et non dans puis dans et non dans tous les facteurs jusqu’au nombre inclusivement ; ce qui fera déjà
