Dans tout ce qui précède, nous avons tacitement supposé que l’on n’avait aucun égard à l’ordre des parts ; mais, si l’on convenait de considérer comme systèmes de répartition distincts ceux-là mêmes qui ne différeraient les uns des autres que par la disposition respective des mêmes parts, voici comment, dans cette nouvelle hypothèse, on parviendrait à assigner le nombre total des systèmes de répartition.
Soit, en général, le nombre des systèmes à trois parts égales, dans la première hypothèse ; nombre que nous avons vu n’être jamais supérieur à l’unité et être souvent nul ; soient en outre le nombre des systèmes à deux parts égales et les nombre de ceux dans lesquels les trois parts sont inégales.
Dans la nouvelle hypothèse, les systèmes à trois parts égales n’étant susceptibles d’aucune permutation, restera toujours
Dans les systèmes à deux parts égales, la part seule de son espèce pouvant occuper successivement le premier, le second ou le troisième rang deviendra ici
Enfin, dans les systèmes à trois parts inégales, les parts étant susceptibles de toutes les sortes de permutations, devra devenir
Ainsi, le nombre total des systèmes de répartition qui d’abord était simplement deviendra ici
mettant donc successivement pour dans cette dernière formule les nombres qui conviennent à chaque cas, nous trouverons que, dans tous les cas, le nombre cherché est également ce qu’on justifierait d’ailleurs par un raisonnement direct.
De la même manière que nous avons déduit le cas de trois parts de celui de deux, on déduirait pareillement celui des quatre parts de celui de trois ; celui de cinq de celui de quatre ; et ainsi de
