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PROBLÈMES.

${\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-7)+(m-13)+(m-19)+\ldots +10+4\right\},$

${\frac {1}{2}}\left\{(m-5)+(m-11)+(m-17)+(m-23)+\ldots +12+6\right\}\,;$

c’est-à-dire, en deux progressions dont la raison commune est $6,$ et dont le nombre des termes est ${\frac {m+1}{6}},$ pour la première, et ${\frac {m-5}{6}}$ pour la seconde ; on aura donc, pour la réunion des sommes de leurs termes

${\frac {1}{2}}.\left\{{\frac {m+1}{6}}.{\frac {m+3}{2}}+{\frac {m-5}{6}}.{\frac {m+1}{2}}\right\}={\frac {(m-1)(m+1)}{12}}={\frac {m^{2}-1}{12}}\,;$

et ce sera là le nombre des solutions du problème.

En résumant présentement ces divers résultats, et observant que les formes $6k+3,6k+4,6k+5$ rentrent respectivement dans les formes $6k-3,$$6k-2,6k-1\,;$ nous pourrons dire que le nombre des manières de faire trois parts effectives avec $m$ choses, toutes égales entre elles, est

${\begin{array}{ll}{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\quad ,&\ldots \ldots \ \ {\frac {m^{2}}{12}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 1,&\ldots \ldots {\frac {m^{2}-1}{12}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 2,&\ldots \ldots {\frac {m^{2}-4}{12}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 3,&\ldots \ldots {\frac {m^{2}+3}{12}}.\end{array}}$

On peut désirer de connaître combien il y a de systèmes dans lesquels plusieurs parts sont égales et combien il y a de parts égales dans chacun de ceux-là. Pour cela, remarquons que, d’abord les trois parts ne sauraient être égales qu’autant que $m$ est de l’une ou l’autre des deux formes $6k,6k\pm 3,$ et cela ne saurait arriver qu’une seule fois.