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PROBLÈMES.

${\frac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-4)+(m-8)+(m-10)+(m-14)+\ldots +4+2\right\},$

laquelle se décompose en ces deux-ci :

${\frac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-8)+(m-14)+(m-20)+\ldots +10+4\right\},$

${\frac {1}{2}}\left\{(m-4)+(m-10)+(m-16)+(m-22)+\ldots +8+2\right\},$

c’est-à-dire, en deux progressions par différences, ayant $6$ pour raison commune, et ayant chacune ${\frac {m}{6}}$ termes ; on aura donc, pour la réunion de leurs sommes de termes

${\frac {1}{2}}{\frac {m}{6}}\left\{{\frac {m+2}{2}}+{\frac {m-2}{2}}\right\}{\frac {m^{2}}{12}}\,;$

et ce sera là le nombre des solutions du problème.

Si $m,$ toujours pair, est de la forme $6k+2,$ la dernière colonne aura deux lignes qui seront

$\left.{\begin{array}{lll}2k,&2k,&2k+2,\\2k,&2k+1,&2k+1,\end{array}}\right\}\quad {\text{ou}}\quad \left\{{\begin{array}{lll}{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m+4}{3}},\\{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m+1}{3}},&{\frac {m+1}{3}},\end{array}}\right.$

la série aura donc ${\frac {m-2}{3}}$ termes, dont le dernier sera $2$ ou ${\frac {4}{2}}\,;$ cette série sera donc

${\frac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-4)+(m-8)+(m-10)+(m-14)+\ldots +6+4\right\},$

laquelle se décompose en ces deux-ci :

${\frac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-8)+(m-14)+(m-20)+\ldots +12+6\right\},$

${\frac {1}{2}}\left\{(m-4)+(m-10)+(m-16)+(m-22)+\ldots +10+4\right\},$