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DE COMBINAISON.

Par un raisonnement tout-à-fait semblable, on prouvera que le nombre des lignes de la quatrième colonne est

Si $m$ est pair$\quad {\frac {m-4}{2}}-3$ ou $\ldots \ldots \ldots {\frac {m-10}{2}},$

Si $m$ est impair ${\frac {m-5}{2}}-3$ ou $\ldots \ldots \ldots {\frac {m-11}{2}}\,;$

que le nombre des lignes de la cinquième est

Si $m$ est pair$\quad {\frac {m-6}{2}}-4$ ou $\ldots \ldots \ldots {\frac {m-14}{2}},$

Si $m$ est impair ${\frac {m-5}{2}}-4$ ou $\ldots \ldots \ldots {\frac {m-13}{2}}\,;$

et ainsi de suite.

Il résulte de là que le nombre total des lignes de tout le tableau, c’est-à-dire, le nombre cherché, est

Si $m$ est pair $={\tfrac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-4)+(m-8)+(m-10)+(m-14)+\ldots \right\},$

Si $m$ est impair $={\tfrac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-5)+(m-7)+(m-11)+(m-13)+\ldots \right\}.$

Pour être en état de sommer ces suites, il faut au moins pouvoir assigner le dernier terme de chacune d’elles. Occupons-nous d’abord de la première ; $m$ y étant pair ne peut être que de l’une de ces trois formes $6k,6k+2,6k+4.$

Dans le premier cas, il est évident que la dernière colonne n’aura qu’une ligne qui sera

$2k,2k,2k,\quad$ou$\quad {\frac {m}{3}},{\frac {m}{3}},{\frac {m}{3}}\,;$

la série aura donc ${\frac {m}{3}}$ termes dont le dernier sera l’unité ou ${\frac {2}{2}}\,;$ cette série sera donc