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PROBLÈMES.

Pour le cas d’une part unique$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +1,$

${\begin{array}{rr}{\text{de }}2&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad 2^{m}-2,\\{\text{de }}3&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ 3^{m}-3.2^{m}+3,\\{\text{de }}4&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 4^{m}-4.3^{m}+6.2^{m}-4,\\{\text{de }}5&\ldots \ldots \ldots \quad 5^{m}-5.4^{m}+10.3^{m}-10.2^{m}+5,\\{\text{de }}6&\ldots 6^{m}-6.5^{m}+15.4^{m}-20.3^{m}+15.2^{m}-6,\\\end{array}}$

or, la loi de ces résultats est manifeste, et l’on ne peut conclure de suite, comme il serait d’ailleurs facile de s’en assurer par une induction rigoureuse, que l’on peut distribuer en $n$ parts $m$ choses toutes différentes les unes des autres, de manière à ce qu’aucune part ne soit nulle, d’un nombre de manières exprimé par

$n^{m}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{m}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{m}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{m}+\ldots$

$\pm {\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}2^{m}\mp {\tfrac {n}{1}}\,;$

pourvu toutefois que l’on admette comme systèmes différens ceux-là même où les mêmes parts ne sont simplement que transposées.

Avant d’aller plus loin, observons que, comme il est impossible de faire $n$ parts effectives avec un nombre de choses inférieur à $n\,;$ et que comme, d’un autre côté, les diverses manières de faire $n$ parts avec $n$ choses ne sont que les diverses manières de permuter ces choses entre elles ; il s’ensuit qu’on doit avoir

$n-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)+\ldots \pm n=0,$