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PROBLÈMES.

${\begin{array}{rr}\qquad 3&\ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\left(3^{m-3}-3.2^{m-3}+3\right),\\\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

${\begin{array}{rr}m-2&\ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.\,\ {\frac {m-1}{2}}\left(3^{2}-3.2^{2}+3\right),\\\\m-1&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \,\ {\frac {m}{1}}\left(3-3.2+3\right).\end{array}}$

À la vérité, lorsqu’on doit repartir $m$ choses en quatre parts, la première part n’en saurait admettre $m-1,$ ni même $m-2\,;$ mais aussi arrive-t-il que les facteurs $3^{2}-3.2^{2}+3$ et $3-2.3+3,$ qui répondent aux deux derniers cas, sont nuls d’eux-mêmes.

Le nombre total des systèmes possibles de répartition de nos $m$ choses en quatre parts sera donc la somme de toutes ces formules, laquelle se résout évidemment en ces trois suites

${\tfrac {m}{1}}.3^{m-1}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.3^{m-2}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.3^{m-3}+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.3^{2}+{\tfrac {m}{1}}.3,$

$-3\left({\tfrac {m}{1}}.2^{m-1}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.2^{m-2}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.2^{m-3}+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.2^{2}+{\tfrac {m}{1}}.2\right)$

$+3\left({\tfrac {m}{1}}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}+{\tfrac {m}{1}}\right),$

lesquelles peuvent ensuite être respectivement remplacées par les expressions suivantes

${\begin{array}{ll}+(8+1)^{m}-3^{m}-1&=4^{m}-3^{m}\qquad -1,\\-3\left[(2+1)^{m}-2^{m}-1\right]&=-3.3^{m}+3.2^{m}+3,\\+3\left[(1+1)^{m}-1-1\right]&=\quad \qquad +3.2^{m}-6.\end{array}}$